Une autre formule d'indépendance

Propriété

Soit  \(\text A\)  et \(\text B\)  deux événements de probabilités non nulles dans un univers  \(\Omega\) .  \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont deux événements indépendants si et seulement si  \(P_\text A(\text B) = P(\text B)\)  ou  \(P_\text B(\text A) = P(\text A)\) .

Remarque  

Cette propriété montre littéralement que la probabilité des événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  ne dépend pas de la réalisation du second événement. 

Exemples

1. Dans l'arbre pondéré suivant, on lit que  \(P_\text A(\text B) = 0,6\)  et, avec la formule des probabilités totales,  \(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P( \overline{\text A} \cap \text B) = 0,6 \times 0,6 + 0,4 \times 0,6 = 0,6\) . Donc     \(P_\text A(\text B) = P(\text B)\) , donc les événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont indépendants.

2. On considère le lancer d'un dé cubique équilibré et les événements  \(\text A\) : « Obtenir un nombre pair » et \(\text B\) : « Obtenir un nombre strictement supérieur à `4`  ».
Alors  \(P(\text A) = \dfrac{1}{2}\)  .
\(P_\text B(\text A)\)  correspond à la probabilité d'obtenir un nombre pair, sachant qu'il est strictement supérieur à `4` . Sur les deux issues strictement supérieures à `4` , une seule issue est un nombre pair : `6` , donc  \(P_\text B(\text A) = \dfrac{1}{2}\) .
Comme  \(P(\text A) = P_\text B(\text A)\) , on en déduit que les deux événements sont indépendants.